おはようございます!数的推理・判断推理を解説するゆうです。

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【問題】
A大学、B大学の入学試験において、A大学とB大学を比較したとき、
受験者数の比は3:5、合格者数の比は2:9、不合格者数の比は4:5であった。
A大学、B大学の入学試験において、A大学とB大学を比較したとき、
受験者数の比は3:5、合格者数の比は2:9、不合格者数の比は4:5であった。
A大学の競争率とB大学の競争率の組み合わせとして妥当なものはどれか。

1. 10.0倍と5.0倍
2.  6.7倍と2.2倍
3.  7.8倍と2.9倍
4.  5.5倍と1.9倍
5.  8.1倍と3.3倍

【解説】

まず、競争率というのはどのように計算するのでしょうか。
競争率というのは「受験者数が合格者数の何倍だったか」ということ、
「合格者1人に対して(その合格者も含めて)受験者は何人いたか」ということですから、
「競争率=受験者数÷合格者数」という式によって計算します。

次に、問題文に書いてある条件を分かりやすく整理して書き直すと、
A大学の受験者数とB大学の受験者数の比は「3:5」であり、
A大学の合格者数とB大学の合格者数の比は「2:9」であり、
A大学の不合格者数とB大学の不合格者数の比は「4:5」であるということです。

そこで、これらの条件を利用して、最終的には、
A大学の受験者数と合格者数、B大学の受験者数と合格者数を、
「競争率=受験者数÷合格者数」という式に当てはめて、
競争率を具体的に「何倍」という値として求めるにはどうしたらよいかを考えることにします。

条件より、A大学の合格者数とB大学の合格者数の比は「2:9」ですから、
A大学の合格者数=2a、B大学の合格者数=9aと表すことができます。
aは、人の数を表しますから、自然数です。

なぜ、このように表してよいのでしょうか。
A大学の実際の合格者数もB大学の実際の合格者数もわかりませんが、
その比が「2:9」だということだけはわかっています。
そこで、aが具体的には1かもしれないし、2かもしれないし、……、わからないのですが、
例えば、a=200の場合であれば、A大学の合格者数は400人、B大学の合格者数は1800人であり、
a=300の場合であれば、A大学の合格者数は600人、B大学の合格者数は2700人であることになり、
どちらの場合も、A大学の合格者数とB大学の合格者数の比は「2:9」です。
ですから、A大学の実際の合格者数もB大学の実際の合格者数もわかっていなくても、
A大学の合格者数=2a、B大学の合格者数=9aと表すことができるのです。

同様に、A大学の不合格者数とB大学の不合格者数の比は「4:5」ですから、
A大学の不合格者数=4b、B大学の不合格者数=5bと表すことができます。bは自然数です。
不合格者数の場合には、なぜ、aを使わず、bを使って表すのでしょうか。
仮に、aを使って、A大学の不合格者数=4a、B大学の不合格者数=5aと表すと、
例えば、a=200の場合であれば、A大学の不合格者数は800人、B大学の不合格者数は1000人であることになります。

このとき、既に検討したように、A大学の合格者数は400人、B大学の合格者数は1800人です。
しかし、こうである保証はないのです。
あくまでも、A大学の合格者数とB大学の合格者数の比は「2:9」であることと、
A大学の不合格者数とB大学の不合格者数の比は「4:5」であることとは、
それぞれ別々に言えるにすぎないのです。
このことを実感するために、ここで、A大学の受験者数とB大学の受験者数の比は「3:5」であることから、
A大学の受験者数=3c、B大学の受験者数=5cと表してみましょう。
仮に、aを使って、A大学の受験者数=3a、B大学の受験者数=5aと表すと、
例えば、a=200の場合であれば、A大学の受験者数は600人、B大学の受験者数は1000人であることになります。
このとき、既に検討したように、A大学の合格者数は400人、B大学の合格者数は1800人です。

しかし、この結論は明らかに不合理です。
B大学の受験者数(1000人)よりもB大学の合格者数(1800人)のほうが多いからです。
この実例を見ると、A大学の合格者数=2a、B大学の合格者数=9aと表したからといって、
A大学の受験者数=3a、B大学の受験者数=5aと表してはならないということが実感できるでしょう。

次に、既に述べたように、受験者数が問題となってくるので、それを合格者数と不合格者数を使って表すと、
受験者数=合格者数+不合格者数ですから、A大学の受験者数=2a+4b、B大学の受験者数=9a+5bと表すことができます。
ここで、A大学の受験者数とB大学の受験者数の比は「3:5」ですから、
2a+4b:9a+5b=3:5
が成り立ちます。
比例式の内項の積と外項の積は等しいので、
3(9a+5b)=5(2a+4b)
が成り立ちます。
これを計算すると、
27a+15b=10a+20b
17a=5b

したがって、b=3.4a
となります。
そうすると、
A大学の受験者数=2a+4b=2a+4×3.4a=15.6a、
B大学の受験者数=9a+5b=9a+5×3.4a=26a
となります。
これらの値を利用して、A大学の競争率とB大学の競争率を求めると、
A大学の競争率=A大学の受験者数÷A大学の合格者数ですから、
A大学の競争率=15.6a÷2a=7.8であり、
B大学の競争率=B大学の受験者数÷B大学の合格者数ですから、
B大学の競争率=26a÷9a≒2.9です。

そこで、選択肢3が正答であることがわかります。